O que são regras de derivação ?

As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis para facilitar resoluções de exercicios sendo possível identificar qual regra utilizar para resolver o problema. Vamos relembrar o que é a derivação:

O que é Derivação?

Imagine que você está andando de bicicleta, e você quer saber o quanto sua velocidade está mudando a cada momento. A derivação é como calcular essa mudança de velocidade. A derivada da velocidade é a aceleração que a bicicleta está sofrendo.

Regra da soma e subtração

Quando você tem duas funções somando ou subtraindo, a derivada é bem simples: Soma-se ou subtrai as funções de forma independente para se chegar ao resultado. Por exemplo, se temos:

derivamos \(5x\) para \(5\) e \(3x\) para \(3\), Depois, somamos as derivadas: \[h(x)' = 5 + 3 = 8\] De forma geral é: \[f(x) \pm g(x)' = f(x)' \pm g(x)'\]

Regra do Produto

A regra do produto é uma das mais importantes. Considere uma função abaixo: \[f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\] Para derivar essa função, aplicamos a regra já que temos um produto de 2 funções: \[f(x)' = (x^2)' \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \sin(x)'\] \[f(x)' = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\] Resumindo é: derivar a 1º função(\(x^2\)) vezes a 2º função (\(sin(x)\)) mais a derivada da 2º vezes a 1º.

De forma geral, a regra do produto pode ser expressa como:

\[f(x) \cdot g(x)' = f(x)' \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x)'\]

Regra do Quociente

A regra do quociente é útil para calcular a derivada de funções que estão divididas uma pela outra. Ela nos ajuda a entender como as mudanças em uma função afetam a taxa de mudança da outra função. Por exemplo, considere: \[f(x) = \frac{x^2}{\sin(x)}\]

Para derivar essa função usando a regra do quociente, precisamos calcular as derivadas das funções no numerador (\(x^2\)) e no denominador (\(\sin(x)\)).

Aplicando a regra do quociente, a derivada de \(f(x)\) é calculada como: \[f(x)' = \frac{(x^2)' \cdot \sin(x) - x^2 \cdot (\sin(x))'}{\sin^2(x)}\] \[f(x)' = \frac{2x \cdot \sin(x) - x^2 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}\]

Essa fórmula resultante é a derivada da função \(f(x)\) e nos permite entender como as mudanças nas funções \(x^2\) e \(\sin(x)\) afetam a taxa de mudança de \(f(x)\).